اعداد تاكسي
زماني كه رياضيدان انگليسي هاردي براي عيادت رياضيدان شهير هند رامانوجان به بيمارستان رفته بود به اين موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسي كه به وسيله آن به بيمارستان آمده، عدد بي ربط و بي خاصيت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعاي هاردي به او يادآور شد كه اتفاقا 1729 بسيار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است.
دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر كدام عدد اول هستند.
جمع چهار رقم تشكيل دهنده آن ميشود ۱۹ كه اول است.
جمع دو عدد اوليه و دو عدد آخري ميشود ۸۱۱ كه باز هم عدد اول است دو عدد ابتدايي(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ ميشود كه باز هم عدد اول است.
دو عدد اوليه اگر از هم ديگر كسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته ميشود كه باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲).
عدد اول؛عددي است كه فقط بر يك و خودش تقسيم ميشودبنحوي كه نتيجه تقسيم عددي كسري نباشد(خارج تقسيم نداشته باشد)
جمع عددي اعداد تشكيل دهنده ۱۷۲۹ يا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عكس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتيجه برابر ۱۷۲۹ ميشود.
اين هم يكي ديگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است كه در هر عددي ديده نميشود.
عدد 1729 اولين عددي است كه مي توان آنرا به دو طريق به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت نوشت :
به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729 مي باشند .(اولين مطلب موجود در رابطه با اين خاصيت 1729 به كارهاي بسي رياضيدان فرانسوي قرن هفدهم باز مي گردد.) حال اگر كمي مانند رياضيدانها عمل كنيد بايد به دنبال كوچكترين عددي بگرديد كه به سه طريق مختلف حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت است اين عدد87539319 مي باشد كه در سال 1957توسط ليچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر 87539319 است .
امروزه رياضيدانان عددي را كه به n طريق مختلف به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت باشد ،n ــامين عدد تاكسي مي نامند و آنرا با Taxicab نمايش مي دهند.جالبتر از همه اينكه ،هاردي و رايت ثابت كردند براي هر عدد طبيعي n ناكوچكتر از 1 ،n ــامين عدد تاكسي وجود دارد !
هرچند، چهارمين تا هشتمين اعداد تاكسي نيز كشف شده اند ولي تلاشها براي يافتن نهمين عدد تاكسي تاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زيادي درباره اعداد تاكسي موجود نيست . در ضمن ميتوان مسئله را از راههاي ديگر نيز گسترش داد . مثلا همانگونه كه هاردي در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسيد و او قادر به پاسخگويي نبود ، اين پرسش را مطرح كنيد: كوچكترين عددي كه به دوطريق حاصلجمع توانهاي چهارم دو عدد مثبت مي باشد ،كدام است؟ اين عدد توسط اويلر يافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنين توانهاي چهارم 133 و 134 مي باشد.
Taxicab(1) = 2
= 13 + 13
trivial.
Taxicab(2) = 1729
= 13 + 123
= 93 + 103
first published by Bernard Frénicle de Bessy in 1657.
Taxicab(3) = 87539319
= 1673 + 4363
= 2283 + 4233
= 2553 + 4143
found by Leech in 1957.
Taxicab(4) = 6963472309248
= 24213 + 190833
= 54363 + 189483
= 102003 + 180723
= 133223 + 166303
found by E. Rosenstiel, J.A. Dardis, and C.R. Rosenstiel in 1991.
Taxicab(5) = 48988659276962496
= 387873 + 3657573
= 1078393 + 3627533
= 2052923 + 3429523
= 2214243 + 3365883
= 2315183 + 3319543
found by David Wilson on November 21, 1997 then by D.J Bernstein in 1998, and by Tomas Womack in December 1998.
Other solutions found by David Wilson are 490593422681271000, 6355491080314102272, 27365551142421413376, 1199962860219870469632, 111549833098123426841016.
D.J Bernstein discovered 391909274215699968 in 1998.
Taxicab(6) <= 24153319581254312065344 = 289062063 + 5821623 = 288948033 + 30641733 = 286574873 + 85192813 = 270932083 + 162180683 = 265904523 + 174924963 = 262243663 + 182899223 found by Randall L. Rathbun in 2002 David Wilson discovered 8230545258248091551205888 in 1997. D.J Bernstein verified that Taxicab(6)>= 1018
Stuart Gascoigne verified that Taxicab(6) > 6.8*10^19 in May 2003.
C.S Calude, E. Calude and M.J Dinneen showed that 24153319581254312065344 was Taxicab(6) with a probability of 99%
Taxicab(7) <= 24885189317885898975235988544 = 26486609663 + 18472821223 = 26856356523 + 17667420963 = 27364140083 + 16380248683 = 28944061873 + 8604473813 = 29157349483 + 4595311283 = 29183751033 + 3094814733 = 29195268063 + 587983623 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(8) <= 50974398750539071400590819921724352 = 2995120635763 + 2888736628763 = 3363799426823 + 2346048294943 = 3410757278043 + 2243762461923 = 3475245790163 + 2080291582363 = 3675895857493 + 1092768173873 = 3702983383963 + 583604532563 = 3706336380813 + 393041470713 = 3707799043623 + 74673919743 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(9) <= 136897813798023990395783317207361432493888 = 416321768370643 + 401534391397643 = 467568120327983 + 326100712996663 = 474095261647563 + 311882982206883 = 483059164832243 + 289160529948043 = 510949524191113 + 151894776167933 = 514714690370443 + 81121030025843 = 515180756932593 + 54632764428693 = 515300421426563 + 40768778055883 = 515384067063183 + 10379674843863 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(10) <= 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 156953306675731283 + 151378465556910283 = 176273181363648463 + 122939968799740823 = 178733913641130123 + 117579884291993763 = 182113305141754483 + 109013519790411083 = 192627970620048473 + 57264330615309613 = 194047438269655883 + 30582628319741683 = 194223145363586433 + 20596552189616133 = 194268258877813123 + 15369829327066763 = 194293797782705603 + 9040693335688843 = 194299793282818863 + 3913137416135223 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(11) <= 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 = 114105053953256640563 + 110052144459873773563 = 128150602851372430423 + 89377357317411576143 = 129939555217101597243 + 85480575880279463523 = 132396372838055506963 + 79252828887628855163 = 136001929743147327863 + 67163799217793993263 = 140040534640775237693 + 41631168357330086473 = 141072487622039824763 + 22233570788452201363 = 141200226679327334613 + 14973693441850926513 = 141233024204170138243 + 11173865920777534523 = 141251590988026971203 + 6572584055045786683 = 141255949716609311223 + 2844850901530304943 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(12) <= 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 = 339006115295125479103763 + 326964921190284981246763 = 380735441071427490777823 + 265540128590029792711943 = 386050418550008845400043 + 253962790940310286117923 = 393349623701862911178163 + 235460154625145328680363 = 404061733266890711072063 + 199543647476065953975463 = 416060428417743231176993 + 123686201189627686902373 = 419126360725080319361963 + 66055938812491490240563 = 419505873464281511126313 + 44486843215739102661213 = 419603314910589480711043 + 33197555650630055058923 = 419658476825428131435203 + 19527147227541032226283 = 419658897311362294765263 + 19330975426181222410263 = 419671426608046263634623 + 8452052028446535976743 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Cabtaxi(1) = 0 = 13 - 13 trivial. Cabtaxi(2) = 91 = 33 + 43 = 63 - 53 Cabtaxi(3) = 728 = 63 + 83 = 93 - 13 = 123 - 103 Note that the terms 91 and 728 also are numerators of expansion of (1-x)^(-1/3). Is this a coincidence ? (This is sequence A004117 from the Online Encyclopedia of Integer Sequences) Cabtaxi(4) = 2741256 = 1083 + 1143 = 1403 - 143 = 1683 - 1263 = 2073 - 1833 Cabtaxi(5) = 6017193 = 1663 + 1133 = 1803 + 573 = 1853 - 683 = 2093 - 1463 = 2463 - 2073 found by Randall Rathbun. Cabtaxi(6) = 1412774811 = 9633 + 8043 = 11343 - 3573 = 11553 - 5043 = 12463 - 8053 = 21153 - 20043 = 47463 - 47253 found by Randall Rathbun. Cabtaxi(7) = 11302198488 = 19263 + 16083 = 19393 + 15893 = 22683 - 7143 = 23103 - 10083 = 24923 - 16103 = 42303 - 40083 = 94923 - 94503 found by Randall Rathbun. Cabtaxi(8) = 137513849003496 = 229443 + 500583 = 365473 + 445973 = 369843 + 442983 = 521643 - 164223 = 531303 - 231843 = 573163 - 370303 = 972903 - 921843 = 2183163 - 2173503 found by D.J. Bernstein. Cabtaxi(9) = 424910390480793000 = 6452103 + 5386803 = 6495653 + 5323153 = 7524093 - 1014093 = 7597803 - 2391903 = 7738503 - 3376803 = 8348203 - 5393503 = 14170503 - 13426803 = 31798203 - 31657503 = 59600103 - 59560203 found by Duncan Moore on the 01/31/2005. Jaroslaw Wroblewski found 825001442051661504 on the 01/24/2005. Randall Rathbun found 10933313592720956472 in July 2002. Cabtaxi(10) <= 933528127886302221000 = 83877303 + 70028403 = 84443453 + 69200953 = 97733303 - 845603 = 97813173 - 13183173 = 98771403 - 31094703 = 100600503 - 43898403 = 108526603 - 70115503 = 184216503 - 174548403 = 413376603 - 411547503 = 774801303 - 774282603 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(11) <= 11358236731992639122907000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(12) <= 1912223147184127402358643000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(13) <= 23266019031789278104497609381000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(14) <= 567434938166308703690592195193209000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(15) <= 31136289927061691188910174934641764248000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(16) <= 1577146493675455843791867090964409284453944000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(17) <= 125394186272654467772359976801307288979079725608000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(18) <= 768476640447541361234827077147113303513533370352195096000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(19) <= 298950477236981197723488725070538575992924211134299879660632000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(20) <= 2149172021033860338362430683389430843511963750524516489973424104024000
زماني كه رياضيدان انگليسي هاردي براي عيادت رياضيدان شهير هند رامانوجان به بيمارستان رفته بود به اين موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسي كه به وسيله آن به بيمارستان آمده، عدد بي ربط و بي خاصيت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعاي هاردي به او يادآور شد كه اتفاقا 1729 بسيار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است.
دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر كدام عدد اول هستند.
جمع چهار رقم تشكيل دهنده آن ميشود ۱۹ كه اول است.
جمع دو عدد اوليه و دو عدد آخري ميشود ۸۱۱ كه باز هم عدد اول است دو عدد ابتدايي(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ ميشود كه باز هم عدد اول است.
دو عدد اوليه اگر از هم ديگر كسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته ميشود كه باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲).
عدد اول؛عددي است كه فقط بر يك و خودش تقسيم ميشودبنحوي كه نتيجه تقسيم عددي كسري نباشد(خارج تقسيم نداشته باشد)
جمع عددي اعداد تشكيل دهنده ۱۷۲۹ يا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عكس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتيجه برابر ۱۷۲۹ ميشود.
اين هم يكي ديگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است كه در هر عددي ديده نميشود.
عدد 1729 اولين عددي است كه مي توان آنرا به دو طريق به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت نوشت :
به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729 مي باشند .(اولين مطلب موجود در رابطه با اين خاصيت 1729 به كارهاي بسي رياضيدان فرانسوي قرن هفدهم باز مي گردد.) حال اگر كمي مانند رياضيدانها عمل كنيد بايد به دنبال كوچكترين عددي بگرديد كه به سه طريق مختلف حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت است اين عدد87539319 مي باشد كه در سال 1957توسط ليچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر 87539319 است .
امروزه رياضيدانان عددي را كه به n طريق مختلف به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت باشد ،n ــامين عدد تاكسي مي نامند و آنرا با Taxicab نمايش مي دهند.جالبتر از همه اينكه ،هاردي و رايت ثابت كردند براي هر عدد طبيعي n ناكوچكتر از 1 ،n ــامين عدد تاكسي وجود دارد !
هرچند، چهارمين تا هشتمين اعداد تاكسي نيز كشف شده اند ولي تلاشها براي يافتن نهمين عدد تاكسي تاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زيادي درباره اعداد تاكسي موجود نيست . در ضمن ميتوان مسئله را از راههاي ديگر نيز گسترش داد . مثلا همانگونه كه هاردي در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسيد و او قادر به پاسخگويي نبود ، اين پرسش را مطرح كنيد: كوچكترين عددي كه به دوطريق حاصلجمع توانهاي چهارم دو عدد مثبت مي باشد ،كدام است؟ اين عدد توسط اويلر يافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنين توانهاي چهارم 133 و 134 مي باشد.
Taxicab(1) = 2
= 13 + 13
trivial.
Taxicab(2) = 1729
= 13 + 123
= 93 + 103
first published by Bernard Frénicle de Bessy in 1657.
Taxicab(3) = 87539319
= 1673 + 4363
= 2283 + 4233
= 2553 + 4143
found by Leech in 1957.
Taxicab(4) = 6963472309248
= 24213 + 190833
= 54363 + 189483
= 102003 + 180723
= 133223 + 166303
found by E. Rosenstiel, J.A. Dardis, and C.R. Rosenstiel in 1991.
Taxicab(5) = 48988659276962496
= 387873 + 3657573
= 1078393 + 3627533
= 2052923 + 3429523
= 2214243 + 3365883
= 2315183 + 3319543
found by David Wilson on November 21, 1997 then by D.J Bernstein in 1998, and by Tomas Womack in December 1998.
Other solutions found by David Wilson are 490593422681271000, 6355491080314102272, 27365551142421413376, 1199962860219870469632, 111549833098123426841016.
D.J Bernstein discovered 391909274215699968 in 1998.
Taxicab(6) <= 24153319581254312065344 = 289062063 + 5821623 = 288948033 + 30641733 = 286574873 + 85192813 = 270932083 + 162180683 = 265904523 + 174924963 = 262243663 + 182899223 found by Randall L. Rathbun in 2002 David Wilson discovered 8230545258248091551205888 in 1997. D.J Bernstein verified that Taxicab(6)>= 1018
Stuart Gascoigne verified that Taxicab(6) > 6.8*10^19 in May 2003.
C.S Calude, E. Calude and M.J Dinneen showed that 24153319581254312065344 was Taxicab(6) with a probability of 99%
Taxicab(7) <= 24885189317885898975235988544 = 26486609663 + 18472821223 = 26856356523 + 17667420963 = 27364140083 + 16380248683 = 28944061873 + 8604473813 = 29157349483 + 4595311283 = 29183751033 + 3094814733 = 29195268063 + 587983623 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(8) <= 50974398750539071400590819921724352 = 2995120635763 + 2888736628763 = 3363799426823 + 2346048294943 = 3410757278043 + 2243762461923 = 3475245790163 + 2080291582363 = 3675895857493 + 1092768173873 = 3702983383963 + 583604532563 = 3706336380813 + 393041470713 = 3707799043623 + 74673919743 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(9) <= 136897813798023990395783317207361432493888 = 416321768370643 + 401534391397643 = 467568120327983 + 326100712996663 = 474095261647563 + 311882982206883 = 483059164832243 + 289160529948043 = 510949524191113 + 151894776167933 = 514714690370443 + 81121030025843 = 515180756932593 + 54632764428693 = 515300421426563 + 40768778055883 = 515384067063183 + 10379674843863 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(10) <= 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 156953306675731283 + 151378465556910283 = 176273181363648463 + 122939968799740823 = 178733913641130123 + 117579884291993763 = 182113305141754483 + 109013519790411083 = 192627970620048473 + 57264330615309613 = 194047438269655883 + 30582628319741683 = 194223145363586433 + 20596552189616133 = 194268258877813123 + 15369829327066763 = 194293797782705603 + 9040693335688843 = 194299793282818863 + 3913137416135223 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(11) <= 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 = 114105053953256640563 + 110052144459873773563 = 128150602851372430423 + 89377357317411576143 = 129939555217101597243 + 85480575880279463523 = 132396372838055506963 + 79252828887628855163 = 136001929743147327863 + 67163799217793993263 = 140040534640775237693 + 41631168357330086473 = 141072487622039824763 + 22233570788452201363 = 141200226679327334613 + 14973693441850926513 = 141233024204170138243 + 11173865920777534523 = 141251590988026971203 + 6572584055045786683 = 141255949716609311223 + 2844850901530304943 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Taxicab(12) <= 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 = 339006115295125479103763 + 326964921190284981246763 = 380735441071427490777823 + 265540128590029792711943 = 386050418550008845400043 + 253962790940310286117923 = 393349623701862911178163 + 235460154625145328680363 = 404061733266890711072063 + 199543647476065953975463 = 416060428417743231176993 + 123686201189627686902373 = 419126360725080319361963 + 66055938812491490240563 = 419505873464281511126313 + 44486843215739102661213 = 419603314910589480711043 + 33197555650630055058923 = 419658476825428131435203 + 19527147227541032226283 = 419658897311362294765263 + 19330975426181222410263 = 419671426608046263634623 + 8452052028446535976743 found by Christian Boyer in 2006 http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm Cabtaxi(1) = 0 = 13 - 13 trivial. Cabtaxi(2) = 91 = 33 + 43 = 63 - 53 Cabtaxi(3) = 728 = 63 + 83 = 93 - 13 = 123 - 103 Note that the terms 91 and 728 also are numerators of expansion of (1-x)^(-1/3). Is this a coincidence ? (This is sequence A004117 from the Online Encyclopedia of Integer Sequences) Cabtaxi(4) = 2741256 = 1083 + 1143 = 1403 - 143 = 1683 - 1263 = 2073 - 1833 Cabtaxi(5) = 6017193 = 1663 + 1133 = 1803 + 573 = 1853 - 683 = 2093 - 1463 = 2463 - 2073 found by Randall Rathbun. Cabtaxi(6) = 1412774811 = 9633 + 8043 = 11343 - 3573 = 11553 - 5043 = 12463 - 8053 = 21153 - 20043 = 47463 - 47253 found by Randall Rathbun. Cabtaxi(7) = 11302198488 = 19263 + 16083 = 19393 + 15893 = 22683 - 7143 = 23103 - 10083 = 24923 - 16103 = 42303 - 40083 = 94923 - 94503 found by Randall Rathbun. Cabtaxi(8) = 137513849003496 = 229443 + 500583 = 365473 + 445973 = 369843 + 442983 = 521643 - 164223 = 531303 - 231843 = 573163 - 370303 = 972903 - 921843 = 2183163 - 2173503 found by D.J. Bernstein. Cabtaxi(9) = 424910390480793000 = 6452103 + 5386803 = 6495653 + 5323153 = 7524093 - 1014093 = 7597803 - 2391903 = 7738503 - 3376803 = 8348203 - 5393503 = 14170503 - 13426803 = 31798203 - 31657503 = 59600103 - 59560203 found by Duncan Moore on the 01/31/2005. Jaroslaw Wroblewski found 825001442051661504 on the 01/24/2005. Randall Rathbun found 10933313592720956472 in July 2002. Cabtaxi(10) <= 933528127886302221000 = 83877303 + 70028403 = 84443453 + 69200953 = 97733303 - 845603 = 97813173 - 13183173 = 98771403 - 31094703 = 100600503 - 43898403 = 108526603 - 70115503 = 184216503 - 174548403 = 413376603 - 411547503 = 774801303 - 774282603 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(11) <= 11358236731992639122907000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(12) <= 1912223147184127402358643000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(13) <= 23266019031789278104497609381000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(14) <= 567434938166308703690592195193209000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(15) <= 31136289927061691188910174934641764248000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(16) <= 1577146493675455843791867090964409284453944000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(17) <= 125394186272654467772359976801307288979079725608000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(18) <= 768476640447541361234827077147113303513533370352195096000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(19) <= 298950477236981197723488725070538575992924211134299879660632000 found by Christian Boyer in 2006. Cabtaxi(20) <= 2149172021033860338362430683389430843511963750524516489973424104024000
0 نظرات